Dispersión de ondas guiadas que se propagan a través de codos de tubería según la expansión en modo normal

Scientific Reports volumen 12, Número de artículo: 12488 (2022) Citar este artículo

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La dispersión de las ondas guiadas que se propagan a través de los codos de las tuberías se estudia mediante la expansión en modo normal. En primer lugar, se deriva la relación de biortogonalidad para los modos normales en las curvas de las tuberías, en función de la cual los campos de desplazamiento y tensión en las interfaces entre las partes rectas y curvas se expanden con los modos normales en ambas partes. Entonces, con base en el principio de continuidad del campo de desplazamiento y tensión, el problema de dispersión se considera como un problema propio de una matriz de transferencia, cuya solución da las conversiones de modo en las interfaces. Se presenta un estudio de caso del incidente de modo longitudinal de baja frecuencia en un codo de tubería, y se encuentra que las conversiones de modo dominantes son la reflexión L(0,1) y la conversión de modo de L(0,1) a F(1, 1). También se realizan simulaciones y experimentos de elementos finitos. Se observa claramente la reflexión de la curvatura L(0,1) y la conversión de modo F(1,1), lo que concuerda bien con las predicciones teóricas.

Debido a que es altamente eficiente y puede detectar zonas que de otro modo serían inaccesibles, la tecnología de ondas guiadas1,2,3 se usa ampliamente para inspeccionar tuberías. Sin embargo, las tuberías prácticas siempre tienen múltiples curvas que interfieren con la propagación de la onda guiada incidente y, por lo tanto, complican significativamente las señales de prueba e incluso las hacen imposibles de interpretar. Por lo tanto, la mecánica de dispersión de las ondas guiadas que se propagan a través de las curvas de las tuberías es esencial cuando se inspeccionan tuberías complicadas.

Debido al eje curvo del codo de una tubería, el movimiento ondulatorio es mucho más complejo y debe investigarse numéricamente en lugar de analíticamente. Demma et al.4 derivó primero las curvas de dispersión y las estructuras de modo de ondas guiadas en curvas de tubería con el método de análisis de modo5 en un software comercial de elementos finitos, pero la relación de dispersión solo se puede calcular en frecuencias discretas. Hayashi et al.6 primero calcularon las curvas de dispersión de las ondas guiadas en las curvas de las tuberías utilizando el método semianalítico de elementos finitos (SAFE)6,7,8,9,10, que requiere que solo se discretice la sección transversal de la tubería, convirtiendo así un problema tridimensional (3D) en uno bidimensional (2D) y, por lo tanto, ahorrando tiempo de cálculo y memoria. Se introduce un sistema de coordenadas cilíndricas curvas para la región de la tubería curva, bajo el cual se deriva la ecuación gobernante del movimiento de onda en las curvas de la tubería y luego se resuelve con el método SAFE. Ese método también se aplica a los cálculos de dispersión de estructuras helicoidales8 y estructuras con secciones transversales constantes, como rieles9 y tubos cuadrados10.

En comparación con las curvas de dispersión de las ondas guiadas en tuberías rectas, las curvas de las tuberías presentan varias características distintas, como frecuencias de corte para los modos fundamentales [L(0,1) y T(0,1)], división de modos11, modo de repulsión9 y enfoque natural12. Demma et al.11 estudiaron la función de división de modos y dieron la explicación de que los modos originalmente idénticos en tuberías rectas se dividen en dos modos diferentes debido a la pérdida de simetría axial en las curvas de las tuberías. También se ha observado el modo de repulsión en las curvas de dispersión para placas curvas13,14, guías de ondas helicoidales8 y rieles9, entre otros. Loveday et al.9 estudiaron el modo de repulsión de ondas guiadas en rieles, seguido de lo cual Wu et al.15 lo estudiaron en codos de tuberías. Se encuentra que el modo de repulsión ocurre cuando la segunda derivada de la frecuencia con respecto al número de onda se acerca al infinito cuando las dos curvas se acercan entre sí. También se encuentra que la repulsión de modo ocurre sólo entre modos del mismo tipo (p. ej., modos simétricos o antisimétricos) y no entre modos de diferentes tipos (p. ej., modos simétricos y antisimétricos).

Aunque las características de propagación de las ondas guiadas en las curvas de las tuberías son bien conocidas, la mecánica de dispersión correspondiente sigue sin entenderse. La mayoría de los estudios de la mecánica de dispersión se basan en simulaciones numéricas16,17,18,19,20 y experimentos21,22,23,24,25. Mediante simulación 3D de elementos finitos, Aristegui et al.16 simularon el modo L(0,2) viajando a través de codos de tubería y observaron conversiones de modo de L(0,2) a F(1,3) y F(2, 3). Demma et al.11 estudiaron la dispersión del modo torsional T(0,1) y descubrieron que es más probable que se convierta en F(1,2). Basándose en la definición de representaciones paramétricas ortogonales de tubos curvos que preservan el tiempo de viaje, Brath et al.12 modelan la propagación y la dispersión de ondas guiadas en una curva con enfoques bidimensionales. Qi et al.17 y Heinlein et al.18 investigaron la reflexión del modo T(0,1) a partir de defectos circunferenciales y axiales en codos de tuberías, respectivamente. Además del método de elementos finitos, también se emplean otros métodos numéricos: Rudd et al.19 utilizaron integración finita elastodinámica para simular ondas guiadas en codos de tuberías, y Zhou et al.20 utilizaron el método de elementos finitos de ondas para estudiar la dispersión Mecánica de codos de tubería.

En cuanto a los estudios experimentales, Nishino21 utilizó un sistema láser para generar y detectar ondas guiadas en una tubería de acero inoxidable y se observaron conversiones de modo en las curvas de la tubería. También utilizando un sistema láser, Kim et al.22 evaluaron defectos de adelgazamiento de paredes en codos de tuberías. Verma et al.23 generaron el modo L(0,2) con transductores magnetoestrictivos e investigaron cómo el ángulo de curvatura y los radios afectaban los coeficientes de reflexión y transmisión. De manera similar, Wu et al.24,25 utilizaron un sistema magnetoestrictivo para estudiar la dispersión de los modos L(0,1) y T(0,1) que pasan a través de las curvas de las tuberías. Brath et al.26 mapearon experimentalmente los codos de la tubería con un método de tomografía de onda guiada basado en un modelo de avance rápido.

Basado en una relación biortogonal, el método de expansión de modo normal (NME) expresa el movimiento de onda en una guía de onda con modos de onda guiados ortogonales, lo que facilita el análisis de respuesta de fuerza. Ditri et al.27 derivaron primero la relación biortogonal en cilindros huecos basándose en el teorema de reciprocidad28, seguido de un análisis de excitación modal generalizado de tuberías con tracción superficial aplicada. Más específicamente, Ditri et al.29 analizaron el modo de excitación de transductores tipo cuña y peine. Usando el mismo método NME, Zhang et al.30 analizaron la respuesta de fuerza de cilindros huecos elásticos con respecto a la carga magnetoestrictiva. Ma et al.31 estudiaron la excitación de ondas guiadas torsionales en tuberías por carga de corte inverso. Bakkali et al.32 estudiaron la dispersión en la unión entre tuberías rectas y curvas basándose en la relación biortogonal que simplemente se extiende desde la relación biortogonal en las placas. Recientemente, Zhang et al.33 utilizaron el método NME para estudiar problemas de ondas guiadas forzadas en zonas de carga y encontraron que la solución NME clásica no satisface la ley de Hooke dentro de la zona de carga. Para abordar esta deficiencia, Zhang et al.34 propusieron un método NME modificado.

Aquí, el método NME se usa para estudiar la mecánica de dispersión de ondas guiadas en codos de tuberías. En la sección "Modelado SEGURO del movimiento de las olas en los codos de las tuberías", se presenta brevemente el modelado SEGURO del movimiento de las olas en los codos de las tuberías, luego se deriva la relación biortogonal de los modos normales en los codos de las tuberías en "Relación de biortogonalidad para los modos normales en los codos de las tuberías". sección "codos de tubería". Con base en esa relación, se presenta un estudio teórico de la mecánica de dispersión en la sección "Estudio teórico de la dispersión de ondas guiadas en codos de tuberías". Para ilustrar aún más el estudio de dispersión teórica, en la sección "Estudio de caso" se presenta un estudio de caso de un incidente de modo longitudinal de baja frecuencia en una curva de tubería de radio pequeño. Finalmente, en las secciones "Simulaciones numéricas" y "Validación experimental", se reportan simulaciones numéricas y experimentos, respectivamente, para validar las predicciones teóricas.

Como se muestra en la Fig. 1, se introduce un sistema de coordenadas cuasicilíndrico6 para modelar el cilindro hueco curvo, donde el eje z recto en coordenadas cilíndricas se reemplaza por un eje z' curvo a lo largo de la curvatura de la curvatura. Por lo tanto, un punto arbitrario (x, y, z) en coordenadas cartesianas se puede expresar en coordenadas cuasicilíndricas (r, θ, z′) como

donde R es el radio de curvatura.

Sistema de coordenadas cuasicilíndrico6.

En coordenadas cuasicilíndricas, las relaciones tensión-desplazamiento se reescriben como6

donde \({\mathbf{u}} = \left[ {u_{r} ,u_{\theta } ,u_{z^{\prime}} } \right]^{T}\) es el vector de desplazamiento, \({{\varvec{\upsigma}}} = \left[ {\sigma_{rr} ,\sigma_{\theta \theta } ,\sigma_{\theta z^{\prime}} ,\sigma_{\theta z^{\prime}} ,\sigma_{z^{\prime}r} ,\sigma_{r\theta } } \right]^{T}\) es el vector de tensión,

\({\mathbf{D}}\) es la ecuación constitutiva, que se define como

donde λ es la relación de Poisson y µ es el módulo de elasticidad de corte.

Se supone que las ondas guiadas se propagan a lo largo del eje curvo, por lo que el desplazamiento u en el codo de una tubería toma la forma

donde k es el número de onda, \(\omega\) es la frecuencia angular y \({\mathbf{U}}\left( {r,\theta } \right)\) es el desplazamiento interpolado en la sección transversal de la guía de ondas Debido a que se supone que el movimiento ondulatorio en la dirección z′ es armónico, la discretización de elementos finitos se requiere solo sobre la sección transversal del codo de la tubería, con el movimiento ondulatorio armónico en la dirección z′ incluido analíticamente. Debido a que solo se discretiza la sección transversal y no un volumen, lo que convierte un problema 3D en uno 2D, este método reduce significativamente el número de nodos y, por lo tanto, ahorra tiempo de cálculo y memoria.

Con la relación deformación-desplazamiento reescrita [Eq. (2)] y siguiendo el procedimiento estándar del método de elementos finitos, la ecuación que gobierna el movimiento de onda en codos de tubería se puede escribir como4

donde U es el desplazamiento nodal, K1, K2 y K3 son las matrices de rigidez y M es la matriz de masa. Las matrices de rigidez y masa son todas reales y simétricas, excepto que K2 es antisimétrica. Sea \({\mathbf{K}}_{{2}}^{^{\prime}} = i{\mathbf{K}}_{{2}}^{{}}\), entonces \( {\mathbf{K}}_{{2}}^{^{\prime}}\) es simétrica conjugada. Por lo tanto, todas las matrices en Eq. (5) puede considerarse como simétrica conjugada. La ecuación de gobierno de la ecuación. (5) se puede considerar como un problema de valores propios y se puede reescribir como

donde \(\lambda = \omega^{2}\) es el valor propio y \({{\varvec{\uppsi}}}\) es el vector propio, que también representa la estructura modal. Luego, las curvas de dispersión de número de onda-frecuencia y la estructura de modo correspondiente se pueden calcular resolviendo este problema de valores propios.

El método NME se basa en una relación biortogonal y expresa el movimiento de onda con modos de onda guiados ortogonales. La relación de biortogonalidad para modos normales en codos de tubería se deriva en esta sección siguiendo el trabajo de Ref.27, en el que se deduce la relación de biortogonalidad para una tubería recta.

La relación de biortogonalidad para modos normales se deriva de la relación de reciprocidad compleja27, que establece que

donde V1, \({{\varvec{\upsigma}}}_{1}\) y V2, \({{\varvec{\upsigma}}}_{2}\) son los campos de tensión y velocidad de las partículas, respectivamente, de dos movimientos ondulatorios diferentes en una guía de ondas linealmente elástica, y el asterisco representa una conjugación compleja.

Sean \({\mathbf{V}}_{1}\), \({{\varvec{\upsigma}}}_{1}\) y \({\mathbf{V}}_{2}\ ), \({{\varvec{\upsigma}}}_{2}\) sean modos diferentes en un codo de tubería. En coordenadas cuasicilíndricas, toman la forma de

donde k es el número de onda modal, y V y T son la velocidad de las partículas y los campos de tensión, respectivamente, sobre la sección transversal del codo de la tubería. Tenga en cuenta que aquí y en lo sucesivo, la dependencia armónica del tiempo \(e^{ - iwt}\) se omite por brevedad.

Combinando Ecs. (7) y (8) da

Integrando la ecuación. (9) sobre un corte en el codo de la tubería (el volumen ΔV en la Fig. 1) da

Usando el teorema de la divergencia de Gauss, la integral de volumen en el volumen ΔV se convierte en la integral de área sobre su superficie, es decir,

donde \(\partial S_{1}\) y \(\partial S_{2}\) son las superficies exterior e interior, respectivamente, del volumen ΔV, \(\partial S_{{z^{\prime}_ {1} }}\) y \(\partial S_{{z^{\prime}_{1} + \Delta z^{\prime}}}\) son las secciones transversales del codo de tubería en z′ posiciones de \(z^{\prime}_{1}\) y \(z^{\prime}_{1} + \Delta z^{\prime}\), respectivamente, \(\hat{e} _ {z^{\prime}}\) es el vector unitario en la dirección z′, y \(\hat{n}\) es el vector unitario normal que apunta hacia afuera del volumen interior.

Para un codo de tubería libre, sus superficies interior y exterior no experimentan tracción, por lo tanto, el primer término en el lado derecho de la ecuación. (11) desaparece. Además, debido a que el término \({\mathbf{V}}_{2}^{*} \cdot {\mathbf{T}}_{1} + {\mathbf{V}}_{1} \cdot { \mathbf{T}}_{2}^{*}\) es independiente de z′, sus integrales de área en \(\partial S_{{z^{\prime}_{1} }}\) y \( \parcial S_{{z^{\prime}_{1} + \Delta z^{\prime}}}\) son iguales. Por lo tanto, la ecuación. (11) se puede escribir como

Haciendo \(\Delta z^{\prime} \to 0\), Eq. (12) todavía se mantiene y se convierte en

dónde

La ecuación (14) indica que

La ecuación (15) es la relación de biortogonalidad para modos normales en codos de tubería.

En esta subsección, la relación de biortogonalidad de Eq. (15) se valida numéricamente investigando una tubería de acero inoxidable con un diámetro exterior de 22 mm, un espesor de 2 mm y un radio de curvatura de 50 mm. Las propiedades del material de la tubería de acero inoxidable se dan en la Tabla 1.

El movimiento de las olas en el codo de la tubería se obtiene utilizando el método SAFE introducido en la sección "Modelado SEGURO del movimiento de las olas en los codos de las tuberías". El método SAFE se implementa con códigos Matlab. La sección transversal del codo de la tubería se discretiza primero con dos elementos en la dirección radial y 48 elementos en la dirección circunferencial. Resolviendo el problema de valores propios [Ec. (6)], se obtiene la relación de dispersión para el codo de la tubería. Las curvas de dispersión de velocidad de grupo para la tubería curva se muestran en la Fig. 2a, y las de la tubería recta se muestran en la Fig. 2b. A modo de comparación, los modos en la curva de la tubería se denotan como los de la tubería recta pero con la adición del subíndice C, como se muestra en la Fig. 2a. Como queda claro en la Fig. 2a, las características distintivas de las curvas de dispersión para el codo de la tubería son (i) las frecuencias de corte evidentes para los modos TC(0,1) y LC(0,1), (ii) la fenómenos de división de modo marcados con marcos, y (iii) fenómenos de repulsión de modo marcados con círculos. Tenga en cuenta que la Fig. 2a muestra solo los modos de propagación positivos, pero todos los modos, incluidos los de propagación negativa y los que no se propagan, se investigan en la validación de la relación de biortogonalidad.

Curvas de dispersión de velocidad de grupo para (a) un codo de tubería y (b) una tubería recta.

Se elige la frecuencia de excitación de 30 kHz para investigar la relación de biortogonalidad. Además, resolviendo la Ec. (6), se deduce la estructura del modo (vector propio \({{\varvec{\uppsi}}}\)). La Figura 3 muestra la distribución de desplazamiento a lo largo de la dirección circunferencial para (a) \({\text{L}}_{{\text{C}}} {(0,1)}\), (b) \({ \text{T}}_{{\text{C}}} {(0,1)}\), (c) \({\text{F}}_{{\text{C}}} {( 1,1)}_{1}\), (d) \({\text{F}}_{{\text{C}}} {(1,1)}_{2}\), (e ) \({\text{F}}_{{\text{C}}} {(2,1)}_{1}\), y (f) \({\text{F}}_{{ \text{C}}} {(2,1)}_{2}\) modos.

Distribuciones de desplazamiento a lo largo de la dirección circunferencial (las líneas azul sólida, roja punteada y negra discontinua muestran los desplazamientos en las direcciones radial, circunferencial y axial, respectivamente).

El término \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\) [Eq. (14)] en la relación de biortogonalidad es una integral sobre la sección transversal, que se puede calcular siguiendo el procedimiento de cálculo SAFE. Para cada elemento de la sección transversal, tenemos

donde el superíndice e denota el elemento y \({{\varvec{\uppsi}}}_{{}}^{e}\) es el vector de desplazamiento de los nodos en ese elemento. La integral en la Ec. (16) se puede calcular numéricamente como una integral gaussiana. Entonces, al sumar las integrales de todos los elementos, se obtiene \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\).

Los valores de \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\) para los modos normales en el codo de tubería se calculan con las estructuras de modo normalizado \({\overline{\mathbf {\psi }}}_{k}\), que se define de la siguiente manera:

\({\mathbf{P}}_{k,k}\) es en realidad el doble del vector de Poynting, que se define como \({\mathbf{P}}{ = }\iint_{s} {{\text {Real}}\left( {{\mathbf{V}}_{{}}^{*} \cdot {\mathbf{T}}} \right)} \cdot \hat{e}_{z^{ \prime}} ds\) y denota la potencia promedio sobre la sección transversal. Por lo tanto, esta normalización es un proceso de normalización clásico realizado con respecto a la raíz cuadrada del vector de Poynting. Los valores de \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\) para los diferentes modos son cero, lo que valida la relación de biortogonalidad.

Con la relación de biortogonalidad para codos de tubería derivada en la última sección, el modo incidente y todos los modos reflejados posibles pueden expandirse con los modos normales en codos de tubería en las interfaces. Vise verso, los modos transmitidos se pueden ampliar con los modos normales en tuberías rectas. Teniendo en cuenta el principio de continuidad de desplazamientos y tensiones, se puede establecer una matriz de transferencia entre coeficientes de dispersión. Luego, al resolver la matriz de transferencia, se deducen las conversiones de modo en las interfaces.

Suponga que una onda guiada excitada en la parte recta de una tubería se propaga a través de un codo de tubería, como se muestra en la Fig. 4. Para un codo de tubería, hay dos interfaces en la ruta de propagación, como se indica mediante \(z^{\prime }_{1}\) y \(z^{\prime}_{2}\) en la Fig. 4. Las conversiones de modo complicadas ocurren en estas interfaces, dispersando diferentes modos de la onda guiada y causando una confusión significativa con las señales de prueba .

Esquema de onda guiada que viaja a través de una curva.

Para cada interfaz, los campos de desplazamiento y tensión sobre la sección transversal deben ser consistentes, es decir,

donde el subíndice i denota la i-ésima sección de la tubería que se muestra en la Fig. 4. De acuerdo con el método NME, las estructuras de modo en las interfaces también se pueden expandir con modos normales en cualquier parte, es decir,

donde s y c denotan la tubería recta y la tubería curva, respectivamente, a y b son los coeficientes de expansión de los modos normales, y \({\overline{\mathbf{T}}}\) es la estructura del modo de tensión normalizado, que en el modelo SAFE se define como

Debido a que la relación desplazamiento-esfuerzo [Ec. (2) o (21)] no es lineal, los coeficientes de expansión de las estructuras de modo de desplazamiento (an) son diferentes de los de las estructuras de modo de tensión (bn). Sin embargo, bn se puede calcular de acuerdo con la relación desplazamiento-esfuerzo.

Con base en las relaciones de biortogonalidad de las tuberías rectas27 y las curvas de las tuberías, los coeficientes de expansión se calculan como

Tenga en cuenta que debido a que los modos normales son esencialmente las soluciones a la ecuación gobernante de los movimientos de onda en las guías de ondas, los modos normales no pueden satisfacer dos ecuaciones gobernantes diferentes para diferentes guías de ondas simultáneamente. Suponga que el campo de desplazamiento de la interfaz se expresa mediante modos normales en tuberías rectas y curvas de tubería simultáneamente. Entonces, el campo de tensiones de la interfaz se puede expresar mediante modos normales, ya sea en tuberías rectas o en codos. Debido a que el campo de tensiones se calcula de acuerdo con diferentes Leyes de Hook (diferentes operadores L en la ecuación (2)), no se puede garantizar la continuidad del campo de tensiones. Es decir, el principio de continuidad del campo de tensiones y desplazamientos no se cumple en el marco NME. Sin embargo, el método NME aún revela las conexiones inherentes entre los modos en tuberías rectas y curvas de tubería, y brinda información valiosa sobre las conversiones de modo en curvas de tubería. Por lo tanto, se supone que el principio de continuidad del campo de tensiones y desplazamientos se cumple en la siguiente derivación.

En la interfaz \(z^{\prime}_{1}\), cada modo en la sección recta 1 también se puede expandir con modos normales en la sección curva 2, es decir,

Luego, combinando las Ecs. (19) y (24) y considerando el principio de continuidad de la ecuación. (18), obtenemos

La ecuación (26) da la relación entre los coeficientes de expansión como

que se puede expresar en forma matricial como

donde \({\mathbf{A}}_{m} = \left( {a_{c,1}^{t} ,a_{c,2}^{t} , \cdots } \right)\), \({\mathbf{A}}_{l} = \left( {a_{s,1}^{i} ,a_{s,2}^{i} , \cdots ,a_{s,1}^ {r} ,a_{s,2}^{r} , \cdots } \right)\), y \({\mathbf{G}}_{lm}\) es la matriz de transferencia definida como

Todos los modos, incluidos los modos de propagación positivos incidentes, los modos de propagación positivos en transmisión, los modos de propagación negativos reflejantes y los modos que no se propagan, deben tenerse en cuenta en el cálculo. Por lo tanto, se introducen los superíndices i, r y t para indicar los modos de incidencia, reflexión y transmisión, respectivamente.

Por el contrario, al expandir cada modo en la sección de tubería 2 con modos normales en la sección de tubería 1 y siguiendo el mismo procedimiento de derivación, tenemos

Combinando Ecs. (29) y (30) da

lo que implica que \({\mathbf{A}}_{l}\) es el vector propio de \({\mathbf{G}}_{lm}{\mathbf{G}}_{lm}^{\prime }\) con respecto al valor propio de uno. Por lo tanto, al resolver el problema propio de \({\mathbf{G}}_{lm}{\mathbf{G}}_{lm}^{\prime}\), los coeficientes de expansión \({\mathbf{A} }_{l}\) de ondas guiadas en la sección de tubería 1 se puede derivar, y \({\mathbf{A}}_{m}\) se puede calcular de acuerdo con la ecuación. (28).

En las inspecciones prácticas, generalmente se excita un solo modo en la sección de tubería 1. Luego, al establecer \(a_{s,1}^{i}\) en \({\mathbf{A}}_{l}\) en sea ​​uno y calculando \({\mathbf{A}}_{l}\) y \({\mathbf{A}}_{m}\), los coeficientes de reflexión y transmisión de las ondas guiadas que se propagan a través de la primera interfaz son derivado.

Si se considera que el campo acústico en la sección recta o curva es lineal, la incidencia multimodo se puede tratar como múltiples incidencias monomodo, lo que se puede hacer calculando la dispersión de cada incidencia monomodo por separado y luego superponiendo linealmente estos campos acústicos de dispersión. .

Debido a que múltiples modos están dispersos en la primera interfaz, se debe considerar la incidencia multimodo para la segunda interfaz. Como se mencionó anteriormente, la incidencia multimodo se considera como múltiples incidencias monomodo. Para cada modo de incidente j, tenemos

donde \({\mathbf{A}}_{n,j} = \left( {a_{s,1}^{t,j} ,a_{s,2}^{t,j} , \cdots } \right)\) son los coeficientes de expansión de los modos normales en la sección recta 3, y \({\mathbf{A}}_{m,j} = \left( {a_{c}^{i,j} ,a_ {c,1}^{r,j} ,a_{c,2}^{r,j} , \cdots } \right)\) son los de la sección curva 2. Además, al resolver el problema propio de \({ \mathbf{G}}_{mn,j} {\mathbf{G}}_{mn,j} ^{\prime}\), los coeficientes de transmisión \({\mathbf{A}}_{n,j }\) y los coeficientes de reflexión \(\left( {a_{c,1}^{r,j} ,a_{c,2}^{r,j} , \cdots } \right)\) del j-ésimo incidente se deduce la dispersión del modo en la interfaz \(z^{\prime}_{2}\).

Al superponer todos los campos acústicos de dispersión, se obtiene la dispersión en la interfaz \(z^{\prime}_{2}\). Los coeficientes de reflexión y transmisión son

Los modos reflejados en la interfaz \(z^{\prime}_{2}\) luego inciden negativamente en la interfaz \(z^{\prime}_{1}\), lo que refuerza los reflejos de esta última. Debido a que las reflexiones entre las interfaces \(z^{\prime}_{1}\) y \(z^{\prime}_{2}\) son bastante pequeñas en la mayoría de los casos, se desprecian por simplificación.

Combinando los campos de dispersión de las interfaces \(z^{\prime}_{1}\) y \(z^{\prime}_{2}\) se obtienen los coeficientes de reflexión y transmisión (\({\mathbf{A }}_{l}\) y \({\mathbf{A}}_{n}\)) de ondas guiadas que viajan a través del codo de la tubería.

En esta sección, consideramos el ejemplo del modo longitudinal L(0,1) axisimétrico de baja frecuencia en una tubería de diámetro pequeño con una curva. La tubería de prueba es la misma que la utilizada en la sección "Validación numérica para la relación de biortogonalidad". Suponga que el modo L(0,1) con una frecuencia de excitación de 30 kHz se excita en la parte recta y luego pasa por el codo de la tubería. Las estructuras de modo tanto en la tubería recta como en la curva de la tubería se calculan utilizando el método SAFE presentado en la sección "Validación numérica para la relación de biortogonalidad".

Primero se investiga la dispersión en la interfaz \(z^{\prime}_{1}\). El modo incidente L(0,1) y todos los posibles modos de reflexión se expanden con los modos normalizados en el codo de la tubería según las relaciones de biortogonalidad [Eq. (14)], y luego se constituye la matriz de transferencia \({\mathbf{G}}_{lm}\). En teoría, los modos de transmisión y reflexión sin propagación deben incluirse en el cálculo de \({\mathbf{G}}_{lm}\). Sin embargo, debido a que solo los modos de propagación son de interés en el escenario de prueba práctica, simplificamos el cálculo de \({\mathbf{G}}_{lm}\) al ignorar los modos que no se propagan. Los modos de entrada son el incidente L(0,1) y el reflejo L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 y F(1) ,1)2 modos. Los modos de transmisión de salida son los modos LC(0,1), FC(2,1)1, FC(2,1)2, FC(1,1)1 y FC(1,1)2. F(1,1)1 y F(1,1)2 son los mismos modos porque tienen el mismo número de onda. La diferencia entre ellos es la orientación circunferencial de los campos de desplazamiento, como se muestra en la Fig. 5; esto es lo mismo para F(2,1)1 y F(2,1)2.

Distribuciones de desplazamiento de (a) F(1,1)1 y (b) F(1,1)2 a lo largo de la dirección circunferencial (las líneas azul sólida, roja punteada y negra discontinua-punteada muestran los desplazamientos en la dirección radial, circunferencial, y direcciones axiales, respectivamente).

Resolviendo el problema propio de \({\mathbf{G}}_{lm} {\mathbf{G}}_{lm} ^{\prime}\) se obtienen los coeficientes de reflexión y transmisión:

\({\mathbf{A}}_{l}\) es un vector propio de \({\mathbf{G}}_{lm}{\mathbf{G}}_{lm}^{\prime}\) correspondiente al valor propio de 0.2892 − 0.9633i, que debería ser uno en teoría.

Tomando los valores absolutos de \({\mathbf{A}}_{l}\) y \({\mathbf{A}}_{m}\) da

A partir de los coeficientes de reflexión y transmisión de la interfaz \(z^{\prime}_{1}\), concluimos lo siguiente: (i) ~ 10% del modo incidente L(0,1) se refleja, mientras que otros los reflejos son bastante pequeños; (ii) la mayor parte del modo L(0,1) incidente se convierte al modo LC(0,1), parte se convierte al modo FC(1,1)2 y todas las demás conversiones de modo son insignificantes.

Para la interfaz \(z^{\prime}_{2}\), hay tres modos de incidente. Para simplificar, los modos con amplitudes pequeñas se ignoran y, por lo tanto, solo se consideran aquí los modos dominantes LC(0,1) y FC(1,1)2. Expandiendo los modos LC(0,1) y FC(1,1)2 con los modos normalizados en la sección recta 3 se obtienen las matrices de transferencia \({\mathbf{G}}_{mn,1}\) y \({ \mathbf{G}}_{mn,2}\). Los modos de entrada para LC(0,1) son el incidente LC(0,1) y el reflejo LC(0,1), FC(2,1)1, FC(2,1)2, FC(1,1) 1 y modos FC(1,1)2. Los modos de entrada para FC(1,1)2 son el incidente FC(1,1)2 y el reflejo LC(0,1), FC(2,1)1, FC(2,1)2, FC(1, 1)1 y modos FC(1,1)2. Los modos de salida para ambos casos son los modos L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 y F(1,1)2.

Resolviendo los problemas propios de \({\mathbf{G}}_{mn,1}{\mathbf{G}}_{mn,1}^{\prime}\) y \({\mathbf{G}}_ {mn,2} {\mathbf{G}}_{mn,2}^{\prime}\) da los coeficientes de reflexión y transmisión para las incidencias LC(0,1) y FC(1,1)2:

que corresponden a los valores propios de 0.2847 − 0.9351i y 0.0519 + 0.9121i.

Combinando estos campos de dispersión y los coeficientes de transmisión de la interfaz \(z^{\prime}_{1}\) se obtienen los coeficientes de reflexión y transmisión de la interfaz \(z^{\prime}_{2}\):

Así, \({\mathbf{A}}_{l}\) y \({\mathbf{A}}_{n}\) dan los coeficientes de reflexión (\({\mathbf{A}}_{r }\)) y coeficientes de transmisión (\({\mathbf{A}}_{t}\)) del codo de la tubería a una frecuencia de 30 kHz. Tomando los valores absolutos de \({\mathbf{A}}_{r}\) y \({\mathbf{A}}_{t}\) da

donde los coeficientes de reflexión corresponden a los modos de reflexión L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 y F(1,1)2, y los coeficientes de transmisión corresponden a los modos de transmisión L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 y F(1,1)2.

Los coeficientes de reflexión y transmisión muestran que para la incidencia L(0,1) normalizada unitaria, se refleja ~ 10% del modo L(0,1) y se transmite más del 100%, lo que significa que la ley de conservación de energía está roto aquí. Esto sucede porque el principio de desplazamiento y consistencia de estrés en las interfaces no se cumple en el marco NME.

Sin embargo, aunque los coeficientes de dispersión no son exactos, se revelan las conexiones inherentes entre los modos normales en las tuberías rectas y las curvas de las tuberías, y se predicen correctamente las conversiones de modo principal en las curvas de las tuberías. En este caso, se puede concluir que la mayor parte del modo L(0,1) incidente pasa a través del codo de la tubería, parte se refleja y parte se convierte en el modo FC(1,1)2.

La evolución de los coeficientes de dispersión de la incidencia L(0,1) con respecto a la frecuencia se muestra en la Fig. 6. Como se muestra en la Fig. 6, la reflexión de curvatura L(0,1) y la conversión de modo de L(0,1) ) a F(1,1) aumentan significativamente con la disminución de la frecuencia, lo que concuerda con los resultados experimentales informados en referencias anteriores. El coeficiente de transmisión L(0,1) es siempre mayor que 1 y se aproxima a 1 con el aumento de la frecuencia.

Evolución de los coeficientes con respecto a la frecuencia.

Para validar los resultados del estudio de caso en la sección "Estudio de caso", se realizaron simulaciones numéricas utilizando el software comercial de análisis de elementos finitos COMSOL Multiphysics 5.6. Las dimensiones y propiedades del material de la tubería de prueba fueron las que se indican en la sección "Validación numérica para la relación de biortogonalidad". El tubo estaba doblado por la mitad en un ángulo de 90°. La Figura 7 muestra el modelado de elementos finitos de la tubería, la cual fue mallada con dos elementos en la dirección radial y 48 elementos en la dirección circunferencial. El espaciado de malla axial se fijó en 2 mm, que se eligió de acuerdo con el criterio de malla de más de 20 nodos para la longitud de onda más corta de interés. El paso de tiempo se estableció en 1 µs según el criterio de \(\Delta t < 1/\left( {20f_{\max } } \right)\), donde fmax es la frecuencia máxima dentro de un ancho de banda de media potencia.

Modelado de elementos finitos de tubería de ensayo.

Se aplicó una ráfaga de tono sinusoidal de cinco ciclos modulada con la función de ventana de Hann a la frecuencia de excitación de 30 kHz en la sección transversal de un extremo de la tubería en la dirección axial. Los puntos de observación se establecieron en el otro extremo de la tubería, como se muestra en la Fig. 7. La Figura 8 muestra las trazas temporales del desplazamiento axial registradas en el punto de observación que se ubica alineado con el intradós del codo (ver Fig. 7): ( a) es la traza de tiempo completa; (b) es la traza temporal de los modos axisimétricos (el modo L(0,1) en este caso) obtenida promediando el desplazamiento de todos los nodos de la superficie exterior en la sección transversal; (c) es la traza de tiempo del modo F(1,1) derivada de restar el desplazamiento del punto de observación del de su contraparte simétrica.

Rastros de tiempo de desplazamiento axial registrados en el punto de observación.

La figura 8 muestra que la señal registrada se descompone principalmente en formas de onda de los modos L(0,1) y F(1,1), lo que indica que no se producen otras conversiones de modo notables. En la Fig. 8b se observan reflexiones de curva L(0,1) significativas. La relación de amplitud del primer reflejo de curvatura [forma de onda 1 en la Fig. 8b] al primer reflejo final [forma de onda 2 en la Fig. 8b] es ~ 0,2. De hecho, la primera reflexión de curva se compone de dos reflexiones de curva L(0,1) con diferentes rutas de propagación pero con el mismo tiempo de vuelo: una que se propaga desde el extremo de excitación hasta la curva, se refleja de vuelta al extremo de excitación y luego propagándose a través de la curva hasta el extremo receptor; el otro primero se propaga a través de la curva hasta el extremo receptor, regresa al final y luego se refleja en la curva de la tubería. Por lo tanto, ~ 10% del modo L(0,1) incidente se refleja en la curva. El modo F(1,1) convertido parece bastante pequeño en comparación con los reflejos de curvatura L(0,1), lo que es contrario a la predicción teórica de que una parte significativa del modo L(0,1) se convierte en el modo F( 1,1) modo. Esto se debe a que el modo F(1,1) tiene desplazamientos dominantes en las direcciones radial y circunferencial, pero tiene un desplazamiento axial mucho menor (ver Fig. 5).

En resumen, los resultados de la simulación numérica concuerdan bien con las predicciones teóricas. Aunque los coeficientes de dispersión derivados teóricamente no son exactos, las conversiones de modo dominante se obtienen correctamente.

En esta sección, se estudia experimentalmente la dispersión del modo L(0,1) que viaja a través de una curva. El equipo experimental se muestra en la Fig. 9. El tubo de prueba fue el mismo que se usó en la sección "Validación numérica para la relación de biortogonalidad"; este tubo de acero inoxidable se dobló por la mitad en un ángulo de 90° usando doblado en caliente. Un generador de funciones arbitrarias (Rigol DG1022) generó una ráfaga de tonos de 30 kHz de cinco ciclos y, posteriormente, la amplificó un amplificador de potencia de alto voltaje (Aigtek ATA-3080). Luego, la señal amplificada se envió al transductor transmisor para excitar las ondas guiadas longitudinales en la tubería. Las señales débiles de ondas guiadas fueron detectadas por el transductor receptor y fueron preamplificadas y filtradas en paso alto antes de ser adquiridas por el sistema de adquisición de datos (NI PXIe-1082).

Equipo experimental.

Los transductores de transmisión y recepción se colocaron en el mismo extremo de la tubería. Se emplearon transductores de parche magnetoestrictivos. Cuatro tiras de aleación de hierro-cobalto premagnetizadas de 70 mm de largo, 5 mm de ancho y 0,15 mm de espesor se espaciaron por igual alrededor de la circunferencia y se unieron longitudinalmente a la tubería con pegamento epoxi. Se enrolló una bobina de solenoide de 40 dedos sobre los parches para transmitir y recibir las señales.

La figura 10 muestra los resultados experimentales. Los reflejos de curvatura L(0,1) son evidentes en el medio entre dos reflexiones de extremo sucesivas, esto se debe a que la curvatura estaba ubicada en el medio de la tubería. También se observa F(1,1) con conversión de modo, lo que puede confirmarse simplemente por su tiempo de vuelo. La diferencia de tiempo entre la reflexión final L(0,1) (forma de onda 1 en la Fig. 10) y su sucesiva forma de onda F(1,1) (forma de onda 2 en la Fig. 10) es ~ 0,33 ms. Para un viaje de ida y vuelta, el incidente L(0,1) viaja a través de la curva dos veces (hacia adelante y hacia atrás) y, por lo tanto, la conversión de modo de L(0,1) a F(1,1) ocurre dos veces. La forma de onda 2 es el modo F(1,1) disperso cuando el modo L(0,1) se propaga hacia atrás. Según las curvas de dispersión (ver Fig. 2), la diferencia de tiempo teórica entre las formas de onda 1 y 2 es de 0,3 ms, lo que concuerda bien con el resultado experimental.

Inspección por ondas guiadas de tubería con codo.

La relación de amplitud del primer reflejo de curvatura L(0,1) en la Fig. 10 al primer reflejo final L(0,1) es ~ 0,2. En esta configuración experimental pulso-eco, el primer reflejo de curvatura en la Fig. 10 es en realidad el segundo reflejo de curvatura, porque el primer reflejo de curvatura está enmascarado por el pulso inicial y no se puede distinguir. Por lo tanto, este primer reflejo de curvatura L(0,1) también se compone de dos reflejos de curvatura L(0,1). Por lo tanto, ~ 10% del modo L(0,1) incidente se refleja en la curva.

En resumen, el resultado experimental de que los modos L(0,1) y F(1,1) convertidos de modo notables se dispersan en la curva y ~ 10% del modo L(0,1) incidente se refleja en la curva concuerda bien con las simulaciones numéricas, validando así las predicciones teóricas.

Aquí, se estudió la dispersión de ondas guiadas que se propagan a través de las curvas de las tuberías. Primero, se derivó la relación de biortogonalidad de los modos normales en las curvas de las tuberías. Luego, con base en esa relación y considerando que los campos de desplazamiento y tensión en las interfaces entre las partes rectas y curvas de una tubería deben ser consistentes, el problema de dispersión se consideró como un problema propio de una matriz de transferencia. Al resolver este problema propio, se dedujeron las conversiones de modo en las interfaces. La combinación de las conversiones de modo en dos interfaces de una curva dio los coeficientes de reflexión y transmisión de las ondas guiadas que viajan a través de la curva. Se presentó un estudio de caso de una onda guiada longitudinal de baja frecuencia (el modo L(0,1)) que se propaga a través de un codo de tubería. Además, se llevaron a cabo simulaciones numéricas y experimentos para validar las predicciones teóricas.

Debido a que los modos normales son esencialmente las soluciones a la ecuación de gobierno de los movimientos de onda en las guías de ondas, los modos normales no pueden satisfacer dos ecuaciones de gobierno diferentes para diferentes guías de onda simultáneamente, lo que indica que el principio de desplazamiento constante y campos de tensión no se cumplen en el marco de NME. Para el caso de la incidencia del modo L(0,1), la predicción teórica de que se refleja ~10% del modo incidente, se transmite más del 100% y una parte notable se convierte al modo F(1,1) es obviamente contrario a la ley de conservación de la energía. Sin embargo, la derivación basada en NME todavía revela las conexiones inherentes entre los modos normales en las tuberías rectas y las curvas de las tuberías, y brinda información valiosa sobre las conversiones de modo en las curvas de las tuberías. Mediante simulaciones numéricas y experimentos se demuestra que la reflexión L(0,1) y la conversión L(0,1)–F(1,1) son las conversiones de modo dominantes en este caso.

Los conjuntos de datos utilizados y/o analizados durante el estudio actual están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable.

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Este trabajo cuenta con el apoyo de la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China (Grant Nos. 51709216).

Escuela de Arquitectura Naval, Ingeniería Energética y Oceánica, Universidad Tecnológica de Wuhan, Wuhan, 430063, China

Wenjun Wu, Hao Dong y Shangyu Zhang

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WW derivó las relaciones de biortogonalidad de los modos en las curvas de las tuberías, estudió la conversión de modos en las curvas y fue uno de los principales contribuyentes en la redacción del manuscrito. HD realizó los experimentos. SZ logró las simulaciones numéricas. Todos los autores leyeron y aprobaron el manuscrito final.

Correspondencia a Wenjun Wu, Hao Dong o Shangyu Zhang.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Wu, W., Dong, H. y Zhang, S. Dispersión de ondas guiadas que se propagan a través de codos de tubería según la expansión en modo normal. Informe científico 12, 12488 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-16708-z

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Recibido: 15 de marzo de 2022

Aceptado: 14 julio 2022

Publicado: 21 julio 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-16708-z

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